omnaОмский научный вестникOmsk Scientific Bulletin1813-82252541-7541Омский государственный технический университет10.25206/1813-8225-2023-186-19-27omna-152Research ArticleМАШИНОСТРОЕНИЕMECHANICAL ENGINEERINGБикубическая ленточная поверхностьBicubic ribbon surfacehttps://orcid.org/0000-0002-5266-4701КороткийВ. А.KorotkiyV. A.

КОРОТКИЙ Виктор Анатольевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Инженерная и компьютерная графика»

г. Челябинск

KOROTKIY Viktor Anatolyevich, Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Professor of Engineering and Computer Graphics Department

Chelyabinsk

korotkiiva@susu.ruУсмановаЕ. А.UsmanovaE. A.

УСМАНОВА Екатерина Александровна, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Инженерная и компьютерная графика»

г. Челябинск

USMANOVA Ekaterina Aleksandrovna, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of Engineering and Computer Graphics Department

Chelyabinsk

usmanovaea@susu.ruЮжно-Уральский государственный университетРоссияSouth Ural State University (National Research University)Russian Federation202330062023021927Copyright © Короткий В.А., Усманова Е.А., 20232023Короткий В.А., Усманова Е.А.Korotkiy V.A., Usmanova E.A.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://onv.omgtu.ru/jour/article/view/152

Бикубической лентой называют вытянутую вдоль оси Ox поверхность постоянной ширины, образованную набором прямоугольных в плане бикубических порций, соединенных между собой с гладкостью C1 (непрерывность градиента между порциями) или C2 (непрерывность кривизны). Каждая порция ограничена кубическими параболами, лежащими в вертикальных плоскостях x=const, y=const. В статье представлены алгоритмы расчета бикубической ленты, основанные на использовании уравнений граничных кривых в качестве основных граничных условий. В качестве дополнительных граничных условий принимаются условия «плоские углы». Предлагаемый подход позволяет уменьшить размер характеристической матрицы системы линейных уравнений относительно коэффициентов, входящих в уравнения бикубических порций. Например, расчет 16 коэффициентов уравнения бикубической порции, проходящей через фиксированные граничные кривые, сводится к решению системы четырех линейных уравнений. Сформулированы (в виде теорем) критерии гладкого соединения бикубических порций. В теореме 1 сформулированы и доказаны условия непрерывности градиента. Теорема 2 содержит условия непрерывности кривизны. Представлены примеры расчета и визуализации С1 и С 2-гладких ленточных поверхностей, состоящих из двух или трех бикубических порций.

A bicubic ribbon is a surface of constant width extended along the Ox-axis and formed by a set of rectangular bicubic portions connected to each other with smoothness C1 (continuity of gradient between portions) or C2 (continuity of curvature). Each portion is limited by cubic parabolas lying in vertical planes x=const, y=const. The article presents algorithms for calculating a bicubic band based on the use of boundary curve equations as the main boundary conditions. The «flat corners» conditions are accepted as additional boundary conditions. The proposed approach makes it possible to reduce the size of the characteristic matrix of a system of linear equations with respect to the coefficients included in the equations of bicubic portions. For example, the calculation of 16 coefficients of the equation of a bicubic portion passing through fixed boundary curves reduces to solving a system of four linear equations. Criteria for smooth joining of bicubic portions are formulated (in the form of theorems). Theorem 1 formulates and proves the continuity conditions for the gradient. Theorem 2 contains conditions for the continuity of curvature. Examples of calculation and visualization of C1 and C2-smooth ribbon surfaces, consisting of two or three bicubic portions, are presented.

бикубическая порциякубическая параболаусловия гладкостиградиентплоские углызакрепленные концыbicubic portioncubic parabolasmoothness conditionsgradientflat cornerspinched endsReferencesJarke J. V. Bicubic patches for approximating nonrectangular control-point meshes // Computer Aided Geometric Design. 1986. Vol. 3, № l. P. 456–459. DOI: 10.1016/0167-8396(86)90021-X.Jarke J. V. Bicubic patches for approximating nonrectangular control-point meshes // Computer Aided Geometric Design. 1986. Vol. 3, no. l. P. 456–459. DOI: 10.1016/0167-8396(86)90021-X. (In Engl.).Levner G., Tassinari P., Marini D. A simple general methods for ray tracing bicubic surfaces // Theoretical Foundations of Computer Graphics and CAD. New York: Springer-Verlag, 1988. P. 805–820.Levner G., Tassinari P., Marini D. A simple general methods for ray tracing bicubic surfaces // Theoretical Foundations of Computer Graphics and CAD. New York: Springer-Verlag, 1988. P. 805–820. (In Engl.).Gallier J. Curves and Surfaces in Geometric Modeling: Theory and Algorithms. University of Pennsylvania. Philadelphia, PA, USA. 2018. P. 61–114.Gallier J. Curves and Surfaces in Geometric Modeling: Theory and Algorithms. University of Pennsylvania. Philadelphia, PA, USA. 2018. P. 61–114. (In Engl.).Шикин Е. В., Плис А. И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. Москва: Диалог-МИФИ, 1996. 240 с.Shikin E. V., Plis A. I. Krivyye i poverkhnosti na ekrane komp’yutera. Rukovodstvo po splaynam dlya pol’zovateley [Curves and surfaces on a computer screen. A guide to splines for users]. Moscow, 1996. 240 p. (In Russ.).Голованов Н. Н. Геометрическое моделирование. Москва: ДМК-Пресс, 2020. 406 с.Golovanov N. N. Geometricheskoye modelirovaniye [Geometric modelling]. Moscow, 2020. 406 p. (In Russ.).Короткий В. А. Незакономерные кривые в инженерной геометрии и компьютерной графике // Научная визуализация. 2022. Т. 14, № 1. С. 1–17. DOI: 10.26583/sv.14.1.01.Korotkiy V. A. Nezakonomernyye krivyye v inzhenernoy geometrii i komp’yuternoy grafike [Irregular Curves in Engineering Geometry and Computer Graphics] // Nauchnaya vizualizatsiya. Scientific Visualization. 2022. Vol. 14, no. 1. P. 1–17. DOI: 10.26583/sv.14.1.01. (In Russ.).Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. Москва: Мир, 1982. 304 с.Foks A., Pratt M. Vychislitel’naya geometriya. Primeneniye v proyektirovanii i na proizvodstve [Computational geometry. Applications in design and production]. Moscow, 1982. 304 p. (In Russ.).Удлер Е. М., Тостов Е. Проектирование тентовых оболочек // CADmaster. 2001. № 1 (6). С. 43–47.Udler E. M., Tostov E. Proyektirovaniye tentovykh obolochek [Designing awning covers] // CADmaster. CADmaster. 2001. No. 1 (6). P. 43–47. (In Russ.).Киричков И. В. Преломление категории складки сквозь призму архитектуры // Архитектура и дизайн. 2018. № 3. С. 1–11. DOI: 10.7256/2585-7789.2018.3.29422.Kirichkov I. V. Prelomleniye kategorii skladki skvoz’ prizmu arkhitektury [Reflecting the category of the fold through the prism of architecture] // Arkhitektura i dizayn. Architecture and Design. 2018. No. 3. P. 1–11. DOI: 10.7256/2585-7789.2018.3.29422. (In Russ.).Готовцев А. А. Аutodesk alias: с чего начать? // CADmaster. 2012. № 5 (66). С. 42–44.Gotovtsev A. A. Autodesk alias: s chego nachat’? [Аutodesk alias: Where do I start?] // CADmaster. CADmaster. 2012. No. 5 (66). P. 42–44. (In Russ.).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.