omnaОмский научный вестникOmsk Scientific Bulletin1813-82252541-7541Омский государственный технический университет10.25206/1813-8225-2025-194-26-34PMANTKomna-239Research ArticleМАШИНОСТРОЕНИЕMECHANICAL ENGINEERINGСопряжение кривых Безье для задач гладкого соединения кривых и скругления угловBezier curve conjugation for smooth curve joining and corner roundingКривошеевО. В.KrivosheevO. V.

Кривошеев Олег Викторович - кандидат технических наук, заместитель директора РФЯЦ–ВНИИЭФ по технологиям полного жизненного цикла; директор Института цифровых технологий, главный конструктор систем полного жизненного цикла, заведующий кафедрой «Цифровые технологии» Саровского ФТИ — филиала Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ», SPIN-код: 4120-9990. AuthorID (РИНЦ): 1131619.

Саров

Krivosheev Oleg Viktorovich - Candidate of Technical Sciences, Deputy Director of the RFNC–VNIIEF for Full Life Cycle Technologies, Sarov; Director of the Digital Technologies Institute, Chief Designer of the Full Life Cycle Systems, Head of the Digital Technologies Department, Sarov Institute of Physics and Technology — Branch of the National Research Nuclear University “MEPhI”, Sarov. SPIN-code: 4120-9990. AuthorID (RSCI): 1131619.Sarov

OLvkrivosheev@rosatom.ruМавринС. В.MavrinS. V.

Маврин Сергей Валентинович - кандидат физикоматематических наук, ведущий научный сотрудник РФЯЦ–ВНИИЭФ; доцент кафедры «Цифровые технологии» Саровского ФТИ – филиала Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ», AuthorID (РИНЦ): 604297.

Саров

Mavrin Sergey Valentinovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, RFNC–VNIIEF, Sarov; Associate Professor of the Digital Technologies Department, Sarov Institute of Physics and Technology — Branch of the National Research Nuclear University “MEPhI”. AuthorID (RSCI): 604297.

Sarov

s.mavrin@yandex.ruСтарковаА. С.StarkovaA. S.

Старкова Алина Сергеевна - системный аналитик РФЯЦ–ВНИИЭФ.

Саров

Starkova Alina Sergeevna - System Analyst, RFNC– VNIIEF.

Sarov

a.starkova48@yandex.ruРоссийский федеральный ядерный центр — Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики; Саровский физико-технический институт — филиал «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»РоссияRussian Federal Nuclear Center — All-Russian Research Institute of Experimental Physics; Russian Federal Nuclear Center — All-Russian Research Institute of Experimental PhysicsRussian FederationРоссийский федеральный ядерный центр — Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физикиРоссияRussian Federal Nuclear Center — All-Russian Research Institute of Experimental PhysicsRussian Federation202530062025022634Copyright © Кривошеев О.В., Маврин С.В., Старкова А.С., 20252025Кривошеев О.В., Маврин С.В., Старкова А.С.Krivosheev O.V., Mavrin S.V., Starkova A.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://onv.omgtu.ru/jour/article/view/239

Предлагается аналитический метод гладкого соединения двух кривых Безье произвольной степени соединительной линией, являющейся также кривой Безье. В точках сопряжения соединительной линии с исходными кривыми реализуется порядок гладкости, соответствующий степеням исходных кривых. На соединительную линию могут быть наложены дополнительные ограничения, которые часто возникают при решении реальных конструкторских задач. Доказаны теоремы о необходимых условиях существования соединительной кривой. Возможности предлагаемого метода применяются для решения следующих задач: гладкого соединения двух исходно заданных кривых Безье и гладкого скругления внутреннего угла, образованного пересекающимися исходно заданными кривыми Безье. Решение второй задачи позволяет выполнить как симметричное, так и несимметричное скругление углов, образованных пересечением не прямых линий, с сохранением высокой степени гладкости в точках сопряжения. Показано влияние дополнительных ограничений на форму соединительной кривой.

Предлагаемый математический метод основан на решении системы линейных уравнений, в которой уравнениями являются условия равенства производных в точках сопряжения и в точках дополнительных ограничений. Кривые Безье представляются как частные случаи В-сплайна. Предлагаемый метод применим как для 2D, так и для 3D случаев.

The authors propose an analytical method for the smooth connection of two Bezier curves of arbitrary degree using a connecting curve, which is also a Bezier curve. At the points of connection between the connecting curve and the original curves, the smoothness order corresponds to the degrees of the original curves. Additional constraints can be imposed on the connecting curve, which frequently arise when addressing practical design challenges. Theorems establishing the necessary conditions for the existence of the connecting curve are proven. The capabilities of the proposed method are demonstrated by solving two problems: the smooth connection of two initially given Bezier curves and the smooth rounding of an interior corner formed by intersecting initially given Bezier curves. The solution to the second problem enables both symmetric and asymmetric rounding of corners formed by the intersection of non-straight lines, while maintaining a high degree of smoothness at the connection points. The influence of additional constraints on the connecting curve's shape is shown.

The proposed mathematical method is based on solving a system of linear equations, where the equations represent the derivative equality conditions at the connection points and at the points where additional constraints are applied. Bezier curves are treated as special cases of B-splines. The proposed method is applicable to both 2D and 3D scenarios.

кривая Безьепараметрическая непрерывностьсопряжениеCAD-системыгеометрическое ядросистемы полного жизненного цикла «САРУС»Bezier curveparametric continuityconjugationCAD-systemsgeometric kernelfull life cycle systems “SARUS”ReferencesChatzivasileiadi A., Wardhana N. M., Jabi W. [et al.]. Characteristics of 3D solid modeling software libraries for nonmanifold modeling. Computer-Aided Design and Applications. 2019. Vol. 16, no 3. P. 496–518. DOI: 10.14733/cadaps.2019.496-518.Chatzivasileiadi A., Wardhana N. M., Jabi W. [et al.]. Characteristics of 3D solid modeling software libraries for nonmanifold modeling. Computer-Aided Design and Applications. 2019. Vol. 16, no 3. P. 496–518. DOI: 10.14733/cadaps.2019.496-518.Ившин К. С., Башарова A. A. Принципы современного трехмерного моделирования в промышленном дизайне // Архитектон: известия вузов. 2012. № 3 (39). С. 11. EDN: PCUINV.Ivshin K. S., Basharova A. F. Printsipy sovremennogo trekhmernogo modelirovaniya v promyshlennom dizayne [Principles of modern three-dimensional modeling in industrial design]. Arkhitekton: izvestiya vuzov. Architecton: News of Universities. 2012. No. 39. Р. 101–113. EDN: PCUINV. (In Russ.).Короткий В. А. Незакономерные кривые в инженерной геометрии и компьютерной графике // Научная визуализация. 2022. Т. 14, № 1. С. 1–17. DOI: 10.26583/sv.14.1.01. EDN: RMXYPH.Korotkiy V. A. Nezakonomernye krivye v inzhenernoy geometrii i komp'yuternoy grafike [Irregular curves in engineering geometry and computer graphics]. Nauchnaya vizualizatsiya. Scientific Visualization. 2022. Vol. 14, no. 1. P. 1–17. DOI: 10.26583/sv.14.1.01. EDN: RMXYPH. (In Russ.).Панчук К. Л., Мясоедова Т. М. Описание дискретно заданного плоского контура составной линией из дробно-рациональных кривых Безье второго порядка // Программные системы и вычислительные методы. 2019. № 3. С. 49–60. DOI: 10.7256/2454-0714.2019.3.30637. EDN: SYKZXG.Panchuk K. L., Myasoedova T. M. Opisanie diskretno zadannogo ploskogo kontura sostavnoy liniey iz drobnoratsional'nykh krivykh Bez'e vtorogo poryadka [Description of a discretely specified planar contour by a compound line of secondorder fractional-rational Bezier curves]. Programmnye sistemy i vychislitel'nye metody. Program Systems and Computational Methods. 2019. No. 3. P. 50–59. DOI: 10.7256/24540714.2019.3.30637. EDN: SYKZXG. (In Russ.).Борисенко В. В. Построение оптимального сплайна Безье // Фундаментальная и прикладная математика. 2016. Т. 21, № 3. С. 57–72.Borisenko V. V. Postroenie optimal'nogo splajna Bez'e [Construction of optimal Bezier splines]. Fundamental'naya i prikladnaya matematika. Fundamental and Applied Mathematics. 2016. Vol. 21, no. 3. P. 57–72. (In Russ.).Fitter H. N. [et al.] A review on approaches for handling Bezier curves in CAD for Manufacturing // Procedia Engineering. 2014. Vol. 97. P. 1155–1166. DOI: 10.1016/j.proeng.2014.12.394.Fitter H. N. [et al.] A review on approaches for handling Bezier curves in CAD for Manufacturing // Procedia Engineering. 2014. Vol. 97. P. 1155–1166. DOI: 10.1016/j.proeng.2014.12.394.Любчинов Е. В., Панчук К. Л. О гладкости стыковки линий и поверхностей при циклографическом моделировании поверхностных форм автомобильных дорог // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2020. Т. 20, № 1. С. 52–62. DOI: 10.14529/build200106. EDN: GCZCOI.Lyubchinov E. V., Panchuk K. L. O gladkosti stykovki linij i poverhnostej pri ciklograficheskom modelirovanii poverhnostnyh form avtomobil'nyh dorog [On the smoothness of compound of the lines and surfaces in cyclographic modeling of surface forms of roads]. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Stroitel'stvo i arhitektura. Bulletin of the South Ural State University. Series: Construction Engineering and Architecture. 2020. Vol. 20, no. 1. P. 52–62. DOI: 10.14529/build200106. EDN: GCZCOI. (In Russ.).Короткий В. А. Конструктивные алгоритмы формирования составных кубических кривых Безье в пространстве и на плоскости // Омский научный вестник. 2022. № 2 (182). С. 10–16. DOI: 10.25206/1813-8225-2022-182-10-16. EDN: ZAYBGU.Korotkiy V. A. Konstruktivnye algoritmy formirovaniya sostavnykh kubicheskikh krivykh Bez'e v prostranstve i na ploskosti [Constructive algorithms for forming compound cubic Bezier curves in space and on plane]. Omskiy nauchnyy vestnik. Omsk Scientific Bulletin. 2022. No. 2 (182). P. 10–16. DOI: 10.25206/1813-8225-2022-182-10-16. EDN: ZAYBGU. (In Russ.).Ромакин В. А. Сглаживание ломаных линий составными сплайнами Безье // Вестник ЮУрГУ. Серия: Вычислительная математика и информатика. 2022. Т. 11, № 4. С. 37–50. DOI: 10.14529/cmse220403. EDN: LRUKLU.Romakin V. A. Sglazhivanie lomanykh liniy sostavnymi splaynami Bez'e [Polyline smoothing with compound Bezier splines]. Vestnik YuUrGU. Seriya: Vychislitel'naya matematika i informatika. Bulletin of the South Ural State University. Series: Computational Mathematics and Software Engineering. 2022. Vol. 11, no. 4. P. 37–50. DOI: 10.14529/cmse220403. EDN: LRUKLU. (In Russ.).Lu L. Explicit algorithms for multiwise merging of Bézier curves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2015. Vol. 278. P. 138–148. DOI: 10.1016/j.cam.2014.10.002.Lu L. Explicit algorithms for multiwise merging of Bézier curves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2015. Vol. 278. P. 138–148. DOI: 10.1016/j.cam.2014.10.002.Lu L., Jiang C. An iterative algorithm for G2 multiwise merging of Bézier curves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2016. Vol. 296. P. 352–361. DOI: 10.1016/j.cam.2015.10.007.Lu L., Jiang C. An iterative algorithm for G2 multiwise merging of Bézier curves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2016. Vol. 296. P. 352–361. DOI: 10.1016/j.cam.2015.10.007.Lu L. An explicit method for G3 merging of two Bézier curves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2014. Vol. 260. P. 421–433. DOI: 10.1016/j.cam.2013.10.030.Lu L. An explicit method for G3 merging of two Bézier curves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2014. Vol. 260. P. 421–433. DOI: 10.1016/j.cam.2013.10.030.Zhu P., Wang G. Optimal approximate merging of a pair of Bézier curves with G2-continuity. Journal of Zhejiang University: SCIENCE A. 2009. Vol. 10, no. 4. P. 554–561. DOI: 10.1631/jzus. A0820301.Zhu P., Wang G. Optimal approximate merging of a pair of Bézier curves with G2-continuity. Journal of Zhejiang University: SCIENCE A. 2009. Vol. 10, no. 4. P. 554–561. DOI: 10.1631/jzus.A0820301.Gospodarczyk P., Woźny P. Merging of Bézier curves with box constraints. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2016. Vol. 296. P. 265–274. DOI: 10.1016/j.cam.2015.10.005.Gospodarczyk P., Woźny P. Merging of Bézier curves with box constraints. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2016. Vol. 296. P. 265–274. DOI: 10.1016/j.cam.2015.10.005.Ганчук С. Н., Кривошеев О. В., Маврин С. В., Рыжов С. А. Аппроксимация сопряжения кривых Безье с сохранением порядка гладкости и дополнительными ограничениями // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2024. Т. 24, № 1. С. 59–69. DOI: 10.14529/build240108. EDN: GSDRNS.Ganchuk S. N., Krivosheev O. V., Mavrin S. V., Ryzhov S. A. Approksimaciya sopryazheniya krivyh Bez'e s sohraneniem poryadka gladkosti i dopolnitel'nymi ogranicheniyami [Approximation of Bézier curve conjugation with smoothness order preservation and additional constraints]. Vestnik YuzhnoUral'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Stroitel'stvo i arhitektura. Bulletin of the South Ural State University. Series: Construction Engineering and Architecture. 2024. Vol. 24, no. 1. P. 59–69. DOI: 10.14529/build240108. EDN: GSDRNS. (In Russ.).Отечественная система полного жизненного цикла «Сарус» обеспечит импортонезависимость и безопасность // САПР и графика. 2023. № 12 (328). С. 68–71. EDN: IEOKZT.Otechestvennaya sistema polnogo zhiznennogo cikla «Sarus» obespechit importonezavisimost' i bezopasnost' [Domestic full life cycle system «Sarus» will ensure import-independence and safety]. SAPR i grafika. CAD and Graphics. 2023. No. 12 (328). P. 68–71. EDN: IEOKZT. (In Russ.).Ганчук С. Н., Старкова А. С., Кривошеев О. В., Маврин С. В., Рыжов С. А. Полностью гладкая аппроксимация произвольного набора кривых Безье. Часть 1: кривые Безье и постановка задачи // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2024. Т. 21, № 11. С. 3–8. DOI: 10.14489/vkit.2024.11.pp.003-008. EDN: FSHVLF.Ganchuk S. N., Starkova A. S., Krivosheev O. V., Mavrin S. V., Ryzhov S. A. Polnost'yu gladkaya approksimaciya proizvol'nogo nabora krivyh Bez'e. Chast' 1: krivye Bez'e i postanovka zadachi [Completely smooth approximation of an arbitrary set of Bezier curves. Part 1: Bezier curves and problem statement]. Vestnik komp'yuternyh i informacionnyh tekhnologij. Herald of Computer and Information Technologies. 2024. Vol. 21, no. 11. P. 3–8. DOI: 10.14489/vkit.2024.11.pp.003-008. EDN: FSHVLF. (In Russ.).Ганчук С. Н., Маврин С. В., Семина В. В., Старкова А. С. Гладкое сопряжение двух плоских кривых Безье // Вестник Липецкого государственного технического университета. 2024. № 1 (54). С. 5–11. DOI: 10.53015/23049235_2024_1_5. EDN: XDIDVX.Ganchuk S. N., Mavrin S. V., Semina V. V., Starkova A. S. Gladkoe sopryazhenie dvuh ploskih krivyh Bez'e [Smooth conjugation of two flat Bezier curves]. Vestnik Lipeckogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Bulletin of Lipetsk State Technical University. 2024. No. 1 (54). P. 5–11. (In Russ.).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.