omnaОмский научный вестникOmsk Scientific Bulletin1813-82252541-7541Омский государственный технический университет10.25206/1813-8225-2026-197-31-37PLSZVMomna-328Research ArticleМАШИНОСТРОЕНИЕMECHANICAL ENGINEERINGАлгоритмы расчёта векторов нормалей и их производных в регулярных и сингулярных точках параметрических поверхностейComputing normal vectors and derivatives at regular and singular points of parametric surfaceshttps://orcid.org/0000-0001-7553-0805ЗахаровА. А.ZakharovA. A.

Захаров Андрей Алексеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика», старший научный сотрудник Научно-образовательного центра «Суперкомпьютерное инженерное моделирование и разработка программных комплексов»,

105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, 5/1.

AuthorID (РИНЦ): 656988.

AuthorID (SCOPUS): 56841188600.

ResearcherID: K-6811-2017.

Zakharov Andrey Alekseyevich, Candidate of Physico-Mathematical Sciences, Associate Professor of the Computational Mathematics and Mathematical Physics Department, Senior Researcher of the Research and Education Center of Supercomputer Engineering Simulation and Development of Software Packages, 

5/1, 2nd Baumanskaya St., Moscow, 105005.

AuthorID (RSCI): 656988.

AuthorID (SCOPUS): 56841188600.

ResearcherID: K-6811-2017.

azaharov@bmstu.ruМосковский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана (национальный исследовательский университет)РоссияBauman Moscow State Technical UniversityRussian Federation202624022026013137Copyright © Захаров А.А., 20262026Захаров А.А.Zakharov A.A.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://onv.omgtu.ru/jour/article/view/328

В статье описывается обобщение формул Вейнгартена для нахождения частных производных произвольного порядка единичного вектора нормали в заданной точке параметрической поверхности. Также приводятся методы вычисления нормали и ее производных в сингулярных точках параметрической поверхности. Рассматриваются сингулярные точки, где локальные вектора базиса являются линейно-зависимыми или где хотя бы один из них является нулевым. Представлены алгоритмы вычисления нормали и всех ее n-ых частных производных в сингулярных и несингулярных точках поверхности. Данные алгоритмы могут использоваться в системах автоматизированного проектирования и производства при разработке геометрических библиотек для работы с оболочками и телами смещения или их обобщениями; описании процессов эквидистантного роста поверхностей; генерации траекторий обрабатывающих инструментов в приложениях для станков с числовым программным управлением; геометрическом моделировании изменения формы поверхности в процессе многослойной укладки ткани и намотки ленты, а также при расчетах траекторий движения в робототехнике.

The paper describes a generalization of the Weingarten formulae to find the partial derivatives of arbitrary order of a unit surface normal vector at a given point on a parametric surface. It also proposes methods for computing the normal vectors and its partial derivatives at singular points on the parametric surface. It considers the singular points where two surface base vectors in the tangent plane of the surface are linearly dependent or where at least one of them is zero. It provides algorithms for calculating the normal vectors and its partial derivatives at regular and singular points. This algorithm can be used in computer-aided design and manufacturing systems and integrated into geometry libraries for working with offset surfaces or their generalizations, the description of surface growth processes, the generation of tool paths for numerical control machining applications, geometric modeling of changes in surface shape when multilayer fabric draping, filament winding and tape laying, and access space representations in robotics.

формулы Вейнгартенаповерхность смещениятело смещенияпараметрическая поверхностьвектор нормалисингулярная точкадифференциальные свойства поверхностивырожденный вектор нормалиWeingarten formulaeoffset surfaceoffset bodyparametric surfacenormal vectorsingular pointdifferential surface propertiesdegenerate normal vectorReferencesPiegl L., Tiller W. The NURBS book. 2nd ed. New York: Springer, 1997. 646 p. DOI: 10.1007/978-3-642-59223-2.Piegl L., Tiller W. The NURBS book. 2nd ed. New York: Springer, 1997. 646 p. DOI: 10.1007/978-3-642-59223-2.Farouki R. T. The approximation of non-degenerate offset surfaces. Computer Aided Geometric Design. 1986. Vol. 3, no. 1. P. 15–44. DOI: 10.1016/0167-8396(86)90022-1.Farouki R. T. The approximation of non-degenerate offset surfaces. Computer Aided Geometric Design. 1986. Vol. 3, no. 1. P. 15–44. DOI: 10.1016/0167-8396(86)90022-1.Pham B. Offset curves and surfaces: a brief survey. Computer-Aided Design. 1992. Vol. 24, no. 4. P. 223–229. DOI: 10.1016/0010-4485(92)90059-J.Pham B. Offset curves and surfaces: a brief survey. Computer-Aided Design. 1992. Vol. 24, no. 4. P. 223–229. DOI: 10.1016/0010-4485(92)90059-J.Barnhill R. E., Frost T. M., Kersey S. N. Self-intersections and offset surfaces. Geometry Processing for Design and Manufacturing / ed. Barnhill R. E. Philadelphia: SIAM, 1992. P. 35–44. DOI:10.1137/1.9781611971668.ch2.Barnhill R. E., Frost T. M., Kersey S. N. Self-intersections and offset surfaces. Geometry Processing for Design and Manufacturing / ed. Barnhill R. E. Philadelphia: SIAM, 1992. P. 35–44. DOI:10.1137/1.9781611971668.ch2.Maekawa T. An overview of offset curves and surfaces. Computer-Aided Design. 1999. Vol. 31, no. 3. P. 165–173. DOI: 10.1016/S0010-4485(99)00013-5.Maekawa T. An overview of offset curves and surfaces. Computer-Aided Design. 1999. Vol. 31, no. 3. P. 165–173. DOI: 10.1016/S0010-4485(99)00013-5.Kumar R. G. V. V., Shastry K. G., Prakash B. G. Computing constant offsets of a NURBS B-Rep. Computer-Aided Design. 2003. Vol. 35, no. 10. P. 935–944. DOI: 10.1016/S0010-4485(02)00210-5.Kumar R. G. V. V., Shastry K. G., Prakash B. G. Computing constant offsets of a NURBS B-Rep. Computer-Aided Design. 2003. Vol. 35, no. 10. P. 935–944. DOI: 10.1016/S0010-4485(02)00210-5.Iglesias A., Gálvez A., Puig-Pey J. Computational methods for geometric processing. Applications to industry. Lecture Notes in Computer Science. 2001. Vol. 2073. P. 698–707. DOI: 10.1007/3540-45545-0_81.Iglesias A., Gálvez A., Puig-Pey J. Computational methods for geometric processing. Applications to industry. Lecture Notes in Computer Science. 2001. Vol. 2073. P. 698–707. DOI: 10.1007/3540-45545-0_81.Геометрическое ядро RGK на форуме компании «Топ Системы» // САПР и Графика. 2023. № 7 (323). С. 32–41. EDN: QDALSS.Geometricheskoye yadro RGK na forume kompanii «Top Sistemy» [RGK geometric core on the Top Systems company forum]. SAPR i Grafika. CAD and Graphics. 2023. No. 7 (323). P. 32–41. EDN: QDALSS. (In Russ.).Битюков Ю. И., Денискин Ю. И. Геометрическое моделирование многослойной намотки // Труды МАИ. 2010. № 37. C. 16. EDN: MLMQWL.Bityukov Yu. I., Deniskin Yu. I. Geometricheskoye modelirovaniye mnogosloynoy namotki [Geometrical modelling of multilayered winding]. Trudy MAI. 2010. No. 37. P. 16. EDN: MLMQWL. (In Russ.).Dimitrienko Yu. I., Zakharov A. A., Gorbunov V. Y. Modeling of the draping textile on a curved surface. Journal of Physics Conference Series. 2021. Vol. 1990 (1). 012062. DOI: 10.1088/1742-6596/1990/1/012062.Dimitrienko Yu. I., Zakharov A. A., Gorbunov V. Y. Modeling of the draping textile on a curved surface. Journal of Physics Conference Series. 2021. Vol. 1990 (1). 012062. DOI: 10.1088/1742-6596/1990/1/012062.Димитриенко Ю. И., Захаров А. А., Коряков М. Н. Моделирование выгорания конструкций из дисперсно-армированных сред // Химическая физика и мезоскопия. 2023. Т. 25, № 4. С. 463–473. DOI: 10.15350/17270529.2023.4.40. EDN: SCQKHN.Dimitriyenko Yu. I., Zakharov A. A., Koryakov M. N. Modelirovaniye vygoraniya konstruktsiy iz dispersnoarmirovannykh sred [Burnback simulation of fuel grains with dispersed-reinforced propellant composition]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya. Chemical Physics and Mesoscopy. 2023. Vol. 25, no. 4. P. 463–473. DOI: 10.15350/17270529.2023.4.40. EDN: SCQKHN. (In Russ.).Dimitrienko Yu., Zakharov A., Koryakov M. Simulation of energetic composite materials combustion. International Scientific and Practical Conference “Environmental Risks and Safety in Mechanical Engineering” (ERSME-2023). 2023. Vol. 376. 01031. DOI: 10.1051/e3sconf/202337601031.Dimitrienko Yu., Zakharov A., Koryakov M. Simulation of energetic composite materials combustion. International Scientific and Practical Conference “Environmental Risks and Safety in Mechanical Engineering” (ERSME-2023). 2023. Vol. 376. 01031. DOI: 10.1051/e3sconf/202337601031.Konyukhov A., Schweizerhof K. Computational contact mechanics: geometrically exact theory for arbitrary shaped bodies. Berlin, Heidelberg: Springer, 2013. P. 25–34.Konyukhov A., Schweizerhof K. Computational contact mechanics: geometrically exact theory for arbitrary shaped bodies. Berlin, Heidelberg: Springer, 2013. P. 25–34.Голованов Н. Н. Геометрическое моделирование. 2-е изд. Москва: ДМК Пресс, 2024. 408 с. ISBN 978-5-93700304-1.Golovanov N. N. Geometricheskoye modelirovaniye [Geometric Modeling]. 2nd ed. Moscow, 2024. 408 p. ISBN 978-593700-304-1. (In Russ.).Faux I. D., Pratt M. J. Computational geometry for design and manufacture. New York: John Wiley & Sons, 1979. 329 р.Faux I. D., Pratt M. J. Computational geometry for design and manufacture. New York: John Wiley & Sons, 1979. 329 р.Yamaguchi Y. Differential properties at singular points of parametric surfaces. CAD Tools and Algorithms for Product Design / eds.: Brunet P., Hoffmann C. M., Roller D. Berlin, Heidelberg: Springer; 2000. P. 211–221. DOI: 10.1007/978-3-662-04123-9_14.Yamaguchi Y. Differential properties at singular points of parametric surfaces. CAD Tools and Algorithms for Product Design / eds.: Brunet P., Hoffmann C. M., Roller D. Berlin, Heidelberg: Springer; 2000. P. 211–221. DOI: 10.1007/978-3-662-04123-9_14.Братчев А. В., Ватолина Е. Г., Забарко Д. А. [и др.]. Вопросы теплотехнического проектирования перспективных гиперзвуковых летательных аппаратов аэробаллистического типа // Известия Института инженерной физики. 2009. № 2 (12). С. 42–49. EDN: KJBSMT.Bratchev A. V., Vatolina E. G., Zabarko D. A. [et al.]. Voprosy teplotekhnicheskogo proyektirovaniya perspektivnykh giperzvukovykh letatel’nykh apparatov aeroballisticheskogo tipa [Thermal design issues for advanced hypersonic aeroballistic aircraft]. Izvestiya Instituta Inzhenernoy Fiziki. 2009. No. 2 (12). P. 42–49. EDN: KJBSMT. (In Russ.).Dimitrienko Y., Yurin Yu., Bogdanov I. [et al.]. Supercomputer multiscale modeling of composite structures strength. E3S Web of Conferences. 2023. Vol. 376 (3). P. 01034. DOI: 10.1051/e3sconf/202337601034.Dimitrienko Y., Yurin Yu., Bogdanov I. [et al.]. Supercomputer multiscale modeling of composite structures strength. E3S Web of Conferences. 2023. Vol. 376 (3). P. 01034. DOI: 10.1051/e3sconf/202337601034.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.