Параметризация геометрической формы многомерных конечных нерегулярных точечных множеств

Аннотация

Демонстрируется формальный подход к описанию геометрической формы точечных нерегулярных множеств в многомерном евклидовом пространстве. Под геометрической формой точечного множества понимается совокупность числовых параметров, определяющих взаимное положение всех точек множества с точностью до подобия. Числовые параметры формы определяются как отношения расстояний между точками к расстояниям между вершинами некоторого базисного симплекса. Базисный симплекс выбирается в заданном множестве точек. Показано, что геометрическая форма множества или совокупность числовых параметров не зависит от выбора базисного симплекса. Переход от одного базисного симплекса к любому другому приводит к пересчету значений параметров формы по формулам линейного преобразования. Многомерный объект, геометрическую форму которого предполагается описать числовыми параметрами, предварительно подвергается симплициальной аппроксимации. Такая аппроксимация рассматривается как симплициальный комплекс, имеющий комбинаторную структуру. Если совокупность параметров задается предварительно, то в статье приводятся условия, которым должны удовлетворять значения параметров формы. Приводятся несколько примеров, иллюстрирующих описанный подход. Предложенный подход может быть применен к решению ряда теоретических и прикладных задач инженерной геометрии в области многомерной геометрической морфометрии.