Конструирование PH-кривой пространства по ортогональным проекциям её годографа

   В современном геометрическом моделировании известен класс плоских и пространственных PH-кривых (кривых пифагорова годографа), получивших теоретическое обоснование математиком Рида Т. Фаруки в 2007 г. PH-кривые обладают уникальным свойством, имеющим важное значение в решении множества разноплановых практических задач, а именно «параметрическая скорость» этих кривых, т. е. производная от длины дуги по параметру кривой, является полиномиальной (или рациональной) функцией параметра. Данное свойство обусловлено тем, что координатные компоненты годографа PH-кривой представляют собой элементы пифагорова (n + 1)-кортежа координатных полиномов. Благодаря отмеченному свойству PH-кривые востребованы в решениях различных практических задач: генерация траекторий беспилотных летательных аппаратов, оптимизация пути мобильных роботов, расчёт оптимальных по форме и по длине сегментов оси автомобильной дороги и др. В теории пространственных PH-кривых разработаны алгоритмы их аналитического конструирования. В указанном исследовании предложен подход к конструированию этих кривых, основанный на теории плоских PH-кривых и реализуемый последовательным конструированием образов — проекций пространственных PH-кривых на двух координатных плоскостях. Решение пространственной задачи конструирования сводится к решениям двух задач последовательного конструирования на координатных плоскостях. Приведены числовые примеры, демонстрирующие работоспособность предлагаемого подхода. При этом алгоритмы вычислений более просты, чем в случае известного пространственного аналитического подхода. В направлении развития предложенного подхода приведены числовые примеры конструирования пространственной составной PH-кривой по гладкости C1.

1. Farouki R. T. Pythagorean-hodograph curves: Algebra and geometry inseparable. Germany: Springer, 2008. 729 p. DOI: 10.1007/978-3-540-73398-0. ISBN 978-3-540-73397-3.

2. Farouki R. T., Sakkalis T. Pythagorean-hodograph space curves. Advances in Computational Mathematics. 1994. No. 2. P. 41–66. DOI: 10.1007/BF02519035.

3. Pottmann H. Curve design with rational Pythagoreanhodograph curves. Advances in Computational Mathematics. 1995. No. 3. P. 147–170. DOI: 10.1007/BF03028365.

4. Farouki R. T. Arc lengths of rational Pythagoreanhodograph curves. Computer Aided Geometric Design. 2015. No. 34. P. 1–4. DOI: 10.1016/j.cagd.2015.03.007.

5. Farouki R. T. The elastic bending energy of Pythagoreanhodograph curves. Computer Aided Geometric Design. 1996. No. 13. P. 227–241. DOI: 10.1016/0167-8396(95)00024-0.

6. Винокурский Д. Л., Ганьшин К. Ю., Мезенцева О. С. [и др.]. Планирование траектории группы беспилотных летательных аппаратов с использованием годографа Пифагора и составных кривых Бернштейна-Безье на плоскости // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2020. Т. 31, № 2. С. 70–78. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-31-2-70-78. EDN: DWGUPX.

7. Farouki R. T. Pythagorean-hodograph curves in practical use. Geometry Processing for Design and Manufacturing. Society for Industrial and Applied Mathematics. 1992. P. 3–33.

8. Shah M. A., Aouf N. 3D cooperative Pythagorean hodograph path planning and obstacle avoidance for multiple UAVs. IEEE 9^th International Conference on Cybernetic Intelligent Systems, CIS. 2010. P. 1–6. DOI: 10.1109/UKRICIS.2010.5898124.

9. Vinokursky D. L., Mezentseva O. S., Samoylov Ph. V. [et al.]. Model predictive control for path planning of UAV group. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering : III International Scientific Conference. Krasnoyarsk: IOP Publishing Ltd. 2021. DOI: 10.1088/1757-899X/1155/1/012092.

10. Ганьшин К. Ю., Винокурский Д. Л., Мезенцева О. С. [и др.]. Разработка метода оптимизации траектории облета среды с препятствиями на основе кривых Безье с годографом Пифагора // Инженерный вестник Дона. 2023. № 7(103). С. 156–165. EDN: KRTRRN.

11. Винокурский Д. Л., Ганьшин К. Ю., Мезенцева О. С. [и др.]. Генерация траекторий оптимальных кривых беспилотного летательного аппарата для обхода статического препятствия // Инженерный вестник Дона. 2021. № 9(81). С. 169–181. EDN: LPFIMQ.

12. Bezawada H., Woods C., Vikas V. Shape estimation of soft manipulators using piecewise continuous Pythagorean-hodograph curves. American Control Conference (ACC). 2022. P. 2905–2910. DOI: 10.23919/ACC53348.2022.9867270.

13. Bruyninckx H., Reynaerts D. Path planning for mobile and hyper-redundant robots using Pythagorean-hodograph curves. Advanced Robotics: 8th International Conference. 1997. P. 595–600. DOI: 10.1109/ICAR.1997.620243.

14. Farouki R. T., Knez M., Vitrih V. [et al.]. Planar projections of spatial Pythagorean-hodograph curves. Computer Aided Geometric Design. 2021. Vol. 91. P. 102049. DOI: 10.1016/j.cagd.2021.102049.

15. Panchuk K. L., Myasoedova T. M., Rogoza Y. A. Spatial spline construction through the Monge model. CEUR Workshop Proceedings. 2020. Vol. 2744. P. 60-1–60-11. DOI: 10.51130/graphicon-2020-2-3-60.

16. Корчагин Д. С., Панчук К. Л. Программа «Вычисление кривизны и кручения пространственной кривой линии по ее ортогональным проекциям» // Хроники объединённого фонда электронных ресурсов «Наука и образование». 2014. Т. 1, № 2 (57). С. 60. EDN: SXMEQB.