Сопряжение кривых Безье для задач гладкого соединения кривых и скругления углов

Предлагается аналитический метод гладкого соединения двух кривых Безье произвольной степени соединительной линией, являющейся также кривой Безье. В точках сопряжения соединительной линии с исходными кривыми реализуется порядок гладкости, соответствующий степеням исходных кривых. На соединительную линию могут быть наложены дополнительные ограничения, которые часто возникают при решении реальных конструкторских задач. Доказаны теоремы о необходимых условиях существования соединительной кривой. Возможности предлагаемого метода применяются для решения следующих задач: гладкого соединения двух исходно заданных кривых Безье и гладкого скругления внутреннего угла, образованного пересекающимися исходно заданными кривыми Безье. Решение второй задачи позволяет выполнить как симметричное, так и несимметричное скругление углов, образованных пересечением не прямых линий, с сохранением высокой степени гладкости в точках сопряжения. Показано влияние дополнительных ограничений на форму соединительной кривой.

Предлагаемый математический метод основан на решении системы линейных уравнений, в которой уравнениями являются условия равенства производных в точках сопряжения и в точках дополнительных ограничений. Кривые Безье представляются как частные случаи В-сплайна. Предлагаемый метод применим как для 2D, так и для 3D случаев.

1. Chatzivasileiadi A., Wardhana N. M., Jabi W. [et al.]. Characteristics of 3D solid modeling software libraries for nonmanifold modeling. Computer-Aided Design and Applications. 2019. Vol. 16, no 3. P. 496–518. DOI: 10.14733/cadaps.2019.496-518.

2. Ившин К. С., Башарова A. A. Принципы современного трехмерного моделирования в промышленном дизайне // Архитектон: известия вузов. 2012. № 3 (39). С. 11. EDN: PCUINV.

3. Короткий В. А. Незакономерные кривые в инженерной геометрии и компьютерной графике // Научная визуализация. 2022. Т. 14, № 1. С. 1–17. DOI: 10.26583/sv.14.1.01. EDN: RMXYPH.

4. Панчук К. Л., Мясоедова Т. М. Описание дискретно заданного плоского контура составной линией из дробно-рациональных кривых Безье второго порядка // Программные системы и вычислительные методы. 2019. № 3. С. 49–60. DOI: 10.7256/2454-0714.2019.3.30637. EDN: SYKZXG.

5. Борисенко В. В. Построение оптимального сплайна Безье // Фундаментальная и прикладная математика. 2016. Т. 21, № 3. С. 57–72.

6. Fitter H. N. [et al.] A review on approaches for handling Bezier curves in CAD for Manufacturing // Procedia Engineering. 2014. Vol. 97. P. 1155–1166. DOI: 10.1016/j.proeng.2014.12.394.

7. Любчинов Е. В., Панчук К. Л. О гладкости стыковки линий и поверхностей при циклографическом моделировании поверхностных форм автомобильных дорог // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2020. Т. 20, № 1. С. 52–62. DOI: 10.14529/build200106. EDN: GCZCOI.

8. Короткий В. А. Конструктивные алгоритмы формирования составных кубических кривых Безье в пространстве и на плоскости // Омский научный вестник. 2022. № 2 (182). С. 10–16. DOI: 10.25206/1813-8225-2022-182-10-16. EDN: ZAYBGU.

9. Ромакин В. А. Сглаживание ломаных линий составными сплайнами Безье // Вестник ЮУрГУ. Серия: Вычислительная математика и информатика. 2022. Т. 11, № 4. С. 37–50. DOI: 10.14529/cmse220403. EDN: LRUKLU.

10. Lu L. Explicit algorithms for multiwise merging of Bézier curves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2015. Vol. 278. P. 138–148. DOI: 10.1016/j.cam.2014.10.002.

11. Lu L., Jiang C. An iterative algorithm for G2 multiwise merging of Bézier curves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2016. Vol. 296. P. 352–361. DOI: 10.1016/j.cam.2015.10.007.

12. Lu L. An explicit method for G3 merging of two Bézier curves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2014. Vol. 260. P. 421–433. DOI: 10.1016/j.cam.2013.10.030.

13. Zhu P., Wang G. Optimal approximate merging of a pair of Bézier curves with G2-continuity. Journal of Zhejiang University: SCIENCE A. 2009. Vol. 10, no. 4. P. 554–561. DOI: 10.1631/jzus. A0820301.

14. Gospodarczyk P., Woźny P. Merging of Bézier curves with box constraints. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2016. Vol. 296. P. 265–274. DOI: 10.1016/j.cam.2015.10.005.

15. Ганчук С. Н., Кривошеев О. В., Маврин С. В., Рыжов С. А. Аппроксимация сопряжения кривых Безье с сохранением порядка гладкости и дополнительными ограничениями // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2024. Т. 24, № 1. С. 59–69. DOI: 10.14529/build240108. EDN: GSDRNS.

16. Отечественная система полного жизненного цикла «Сарус» обеспечит импортонезависимость и безопасность // САПР и графика. 2023. № 12 (328). С. 68–71. EDN: IEOKZT.

17. Ганчук С. Н., Старкова А. С., Кривошеев О. В., Маврин С. В., Рыжов С. А. Полностью гладкая аппроксимация произвольного набора кривых Безье. Часть 1: кривые Безье и постановка задачи // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2024. Т. 21, № 11. С. 3–8. DOI: 10.14489/vkit.2024.11.pp.003-008. EDN: FSHVLF.

18. Ганчук С. Н., Маврин С. В., Семина В. В., Старкова А. С. Гладкое сопряжение двух плоских кривых Безье // Вестник Липецкого государственного технического университета. 2024. № 1 (54). С. 5–11. DOI: 10.53015/23049235_2024_1_5. EDN: XDIDVX.