Алгоритмы расчёта векторов нормалей и их производных в регулярных и сингулярных точках параметрических поверхностей

В статье описывается обобщение формул Вейнгартена для нахождения частных производных произвольного порядка единичного вектора нормали в заданной точке параметрической поверхности. Также приводятся методы вычисления нормали и ее производных в сингулярных точках параметрической поверхности. Рассматриваются сингулярные точки, где локальные вектора базиса являются линейно-зависимыми или где хотя бы один из них является нулевым. Представлены алгоритмы вычисления нормали и всех ее n-ых частных производных в сингулярных и несингулярных точках поверхности. Данные алгоритмы могут использоваться в системах автоматизированного проектирования и производства при разработке геометрических библиотек для работы с оболочками и телами смещения или их обобщениями; описании процессов эквидистантного роста поверхностей; генерации траекторий обрабатывающих инструментов в приложениях для станков с числовым программным управлением; геометрическом моделировании изменения формы поверхности в процессе многослойной укладки ткани и намотки ленты, а также при расчетах траекторий движения в робототехнике.

1. Piegl L., Tiller W. The NURBS book. 2nd ed. New York: Springer, 1997. 646 p. DOI: 10.1007/978-3-642-59223-2.

2. Farouki R. T. The approximation of non-degenerate offset surfaces. Computer Aided Geometric Design. 1986. Vol. 3, no. 1. P. 15–44. DOI: 10.1016/0167-8396(86)90022-1.

3. Pham B. Offset curves and surfaces: a brief survey. Computer-Aided Design. 1992. Vol. 24, no. 4. P. 223–229. DOI: 10.1016/0010-4485(92)90059-J.

4. Barnhill R. E., Frost T. M., Kersey S. N. Self-intersections and offset surfaces. Geometry Processing for Design and Manufacturing / ed. Barnhill R. E. Philadelphia: SIAM, 1992. P. 35–44. DOI:10.1137/1.9781611971668.ch2.

5. Maekawa T. An overview of offset curves and surfaces. Computer-Aided Design. 1999. Vol. 31, no. 3. P. 165–173. DOI: 10.1016/S0010-4485(99)00013-5.

6. Kumar R. G. V. V., Shastry K. G., Prakash B. G. Computing constant offsets of a NURBS B-Rep. Computer-Aided Design. 2003. Vol. 35, no. 10. P. 935–944. DOI: 10.1016/S0010-4485(02)00210-5.

7. Iglesias A., Gálvez A., Puig-Pey J. Computational methods for geometric processing. Applications to industry. Lecture Notes in Computer Science. 2001. Vol. 2073. P. 698–707. DOI: 10.1007/3540-45545-0_81.

8. Геометрическое ядро RGK на форуме компании «Топ Системы» // САПР и Графика. 2023. № 7 (323). С. 32–41. EDN: QDALSS.

9. Битюков Ю. И., Денискин Ю. И. Геометрическое моделирование многослойной намотки // Труды МАИ. 2010. № 37. C. 16. EDN: MLMQWL.

10. Dimitrienko Yu. I., Zakharov A. A., Gorbunov V. Y. Modeling of the draping textile on a curved surface. Journal of Physics Conference Series. 2021. Vol. 1990 (1). 012062. DOI: 10.1088/1742-6596/1990/1/012062.

11. Димитриенко Ю. И., Захаров А. А., Коряков М. Н. Моделирование выгорания конструкций из дисперсно-армированных сред // Химическая физика и мезоскопия. 2023. Т. 25, № 4. С. 463–473. DOI: 10.15350/17270529.2023.4.40. EDN: SCQKHN.

12. Dimitrienko Yu., Zakharov A., Koryakov M. Simulation of energetic composite materials combustion. International Scientific and Practical Conference “Environmental Risks and Safety in Mechanical Engineering” (ERSME-2023). 2023. Vol. 376. 01031. DOI: 10.1051/e3sconf/202337601031.

13. Konyukhov A., Schweizerhof K. Computational contact mechanics: geometrically exact theory for arbitrary shaped bodies. Berlin, Heidelberg: Springer, 2013. P. 25–34.

14. Голованов Н. Н. Геометрическое моделирование. 2-е изд. Москва: ДМК Пресс, 2024. 408 с. ISBN 978-5-93700304-1.

15. Faux I. D., Pratt M. J. Computational geometry for design and manufacture. New York: John Wiley & Sons, 1979. 329 р.

16. Yamaguchi Y. Differential properties at singular points of parametric surfaces. CAD Tools and Algorithms for Product Design / eds.: Brunet P., Hoffmann C. M., Roller D. Berlin, Heidelberg: Springer; 2000. P. 211–221. DOI: 10.1007/978-3-662-04123-9_14.

17. Братчев А. В., Ватолина Е. Г., Забарко Д. А. [и др.]. Вопросы теплотехнического проектирования перспективных гиперзвуковых летательных аппаратов аэробаллистического типа // Известия Института инженерной физики. 2009. № 2 (12). С. 42–49. EDN: KJBSMT.

18. Dimitrienko Y., Yurin Yu., Bogdanov I. [et al.]. Supercomputer multiscale modeling of composite structures strength. E3S Web of Conferences. 2023. Vol. 376 (3). P. 01034. DOI: 10.1051/e3sconf/202337601034.