Плавное сопряжение сплайновых кривых с обеспечением высокого порядка гладкости

Авторами разработан программно-методический комплекс C3D FairCurveModeler, как раздел геометрического ядра C3D, для моделирования кривых и поверхностей высокого качества по критериям плавности. Функционал C3D доступен для разработчиков систем автоматизированного проектирования и приложений через “C3D ToolKit”.

Гладкое сопряжение двух кривых — одна из основных и сложных задач геометрического моделирования в системах автоматизированного проектирования. В данной статье предлагается способ построения кривой плавного сопряжения двух сплайновых кривых произвольного формата и произвольных степеней с обеспечением произвольного порядка гладкости.

Формула способа заключается в следующем: фиксируются точки сопряжения на исходных кривых, затем фиксируется сегмент сплайна первой кривой до точки сопряжения, который станет начальным сегментом сплайновой кривой сопряжения, а также сегмент сплайна второй кривой после точки сопряжения, который будет конечным сегментом этой кривой. Эти фиксированные сегменты участков сопряжения приводятся к формату рациональной кривой Безье, после чего степени этих кривых приводятся к единому заданному значению с помощью повышения степени, при этом геометрия кривых не меняется. Далее B-полигоны кривых Безье преобразуются в открытый S-полигон без изменения геометрии. На следующем этапе строится S-полигон кривой сопряжения, концевые участки которого совпадают с S-полигонами исходных участков. В конечном итоге на открытом S-полигоне определяется интегральная рациональная B-сплайновая кривая сопряжения.

Концевые сегменты интегральной сплайновой кривой сопряжения будут геометрически точно совпадать с сегментами сопряжения исходных кривых. Порядок гладкости участка сопряжения с сегментами сопряжения исходных кривых может быть выше порядка гладкости исходных кривых (в приложении C3D FairCurveModeler до G9 при степени сплайна 10). В общем случае порядок гладкости интегральной кривой имеет порядок гладкости, совпадающий с наименьшим порядком гладкости исходных кривых.

Предложенный метод построения сопряжения адаптируется для редактирования участка геометрической рациональной сплайновой кривой Безье.

1. Muftejev V., Ziatdinov R., Nabiyev R. Multi-criteria assessment of shape quality in cad systems of the future. The 30th International Conference on Computer Graphics and Machine Vision (GraphiCon 2020), At: Saint Petersburg, Russia, September. 2020. P. 22–25.

2. Levien R. L. From spiral to spline: optimal techniques in interactive curve design: dissertation. University of California, Berkeley, 2009. 175 р.

3. Ziatdinov R. Family of superspirals with completely monotonic curvature given in terms of Gauss hypergeometric function. Computer Aided Geometric Design. 2012. Vol. 29 (7). P. 510–518. DOI: 10.1016/j.cagd.2012.03.006.

4. Муфтеев В. Г., Марданов А. Р., Семенов А. С., Урманов В. Г. Подготовка NURBS шаблонов аналитических кривых в Mathematica + FairCurveModeler для CAD-cистем // Трактора и автомобили: материалы науч.-практ. конф. Уфа: Изд-во БГАУ, 2013. С. 275–282.

5. Печенкина Т. В., Головкина Н. С., Федоров П. А., Абдуллин М. М. [и др.]. Исторические этапы построения спирали. Способы и средства // История науки и техники. 2013. № 11. С. 11–17. EDN: YTZFAV.

6. Miura K. T., Shibuya D., Gobithaasan R. U., Usuki Sh. Designing log-aesthetic splines with G2 continuity. Computer Aided Design and Applications. 2013. Vol. 10 (6). P. 1021–1032. DOI: 10.3722/cadaps.2013.1021-1032.

7. C3D Labs. URL: https://c3dlabs.com/ (accessed: 19.08.2025).

8. C3D Toolkit. URL: https://c3dlabs.com/products/c3dtoolkit/ (accessed: 19.08.2025).

9. Пат. 1237778 СССР, МПК F 01 L 1/08. Кулачок привода клапана / Рожков А. П. № 3639955.25-06; заявл.05.09.1983; опубл. 15.06.1986. Бюл. № 22.

10. Neamtu M., Pottmann H., Schumaker L. L. Designing NURBS cam profiles using trigonometric splines. Journal of Mechanical Design. 1998. Vol. 120 (2). P. 175–180. DOI: 10.1115/1.2826956.

11. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. В. 4 т. Москва: Изд-во Академии наук СССР, 1952. Т. 1. С. 105–106.

12. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. В. 4 т. Москва: Изд-во Академии наук СССР, 1954. Т. 3. С. 310–348.

13. Шенен П., Коснар М., Гардан И. [и др.]. Математика и САПР. В 2 кн. / пер. с фр. С. Д. Чигиря; под ред. Н. Г. Волкова. Москва: Мир, 1988. Кн. 1. 208 с. ISBN 5-03-000417-3.

14. Шенен П., Коснар М., Гардан И. [и др.]. Математика и САПР. В 2 кн. / пер. с фр. С. Д. Чигиря; под ред. Н. Г. Волкова. Москва: Мир, 1988. Кн. 2. 264 с. ISBN 5-03-000417-3.

15. Gordon W. J., Riesenfeld R. F. B-spline curves and surfaces. Computer Aided Geometric Design. 1974. P. 95–126.

16. К. де Бор. Практическое руководство по сплайнам / пер. с англ.; под ред. В. И. Скурихина. Москва: Радио и связь, 1985. 304 с.

17. Cox M. G. The numerical evaluation of B-Splines. Journal of Applied Mathematics. 1972. Vol. 10. P. 134–149. DOI: 10.1093/imamat/10.2.134.

18. Schoenberg I. J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Part A. On the problem of smoothing or graduation. A first class of analytic approximation formulae. Quarterly of Applied Mathematics. 1946. Vol. 4, no. 1. P. 45–99. DOI: 10.1007/978-1-4899-0433-1_1.

19. Schoenberg I. J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Part B. On the problem of osculatory interpolation. a second class of analytic approximation formulae. Quarterly of Applied Mathematics. 1946. Vol. 4, no. 2. P. 112–141. DOI: 10.1007/978-1-4899-0433-1_2.

20. Sabloniere P. Spline and Bezier polygons associated with a polynomial spline curve. Computer-Aided Design. 1978. Vol. 10, no. 4. P. 257–261. DOI: 10.1016/0010-4485(78)90061-1.

21. Böhm W. Cubic B-spline curves and surfaces in computeraided geometric design. Computing. 1977. Vol. 19. P. 29–34. DOI: 10.1007/BF02260739.

22. Фок А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: моногр. / пер. с англ. Москва: Мир, 1982. 304 с.

23. Piegl L., Tiller W. The NURBS Book: Monographs in visual communication. 2nd ed. Springer Verlag, 1997.660 p.

24. Farin G., Class A. Bézier curves. Computer Aided Geometric Design. 2006. Vol. 23 (7). P. 573–581. DOI: 10.1016/j.cagd.2006.03.004.

25. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. Москва: Наука, 1976. 248 с.

26. КОМПАС МАСТЕР. Встроенная справочная система КОМПАС 3D. URL: https://kompas.ru/source/info_materials/2020/Азбука%20КОМПАС-3D.pdf (дата обращения: 19.08.2025). (In Russ.).

27. ZWCAD. URL: https://sapr-soft.ru/ (accessed: 19.08.2025). (In Russ.).

28. Муфтеев В. Г., Максименко А., Ахметшин Р. И. [и др.]. Прикладные САПР и приложения на основе геометрического ядра C3D для проектирования изделий с функциональными кривыми // Труды международной конференции по компьютерной графике и зрению «Графикон». 2021. № 31. С. 75–87. DOI: 10.20948/graphicon-2021-1-75-87. EDN: NWTYDG.

29. Муфтеев В. Г., Марданов А. Р., Романюк А. Н. [и др.]. Программа изогеометрического моделирования кривых линий высокого качества. WEB-приложение CAD-систем // Компьютерная графика и распознавание изображений: материалы междунар. науч.-техн. интернет-конф. Винница. 2012. С. 127–139.

30. Программа ZWCAD. Официальный сайт. URL: https://sapr-soft.ru/?ysclid=mh6boy50il336770214 (дата обращения: 19.08.2025).

31. BricsCAD V26 Launch | Digital Event | Bricsys. URL: https://www.bricsys.com/ru-ru/bricscad-download?srsltid=AfmBOoqWJkHipuWOPexZS-XPG6Or6GoIsi6JfVbA5Imr76UD3s3q6bsl (дата обращения: 19.08.2025).

32. Российское инженерное ПО. САПР. ТИМ. СОД // Нанософт. URL: https://www.nanocad.ru/ (дата обращения: 19.08.2025).

33. Муфтеев В. Г., Романюк А. Н., Марданов А. Р., Фархутдинов И. М. Геометрически устойчивое моделирование NURBS кривых и поверхностей произвольных степеней // Прикладная геометрия. 2009. № 22, вып. 11. C. 19–77. EDN: ZWVHIV.